trigonometría

Parte das matemáticas inicialmente dedicada ao estudo das relacións entre as amplitudes dos ángulos e as lonxitudes dos segmentos, cuxos lados determinan as rectas que curtan. Esta baséase nas propiedades das denominadas razóns trigonométricas, que son definidas a partir dun punto P(x,y) dunha circunferencia de centro O e polo ángulo α que forma o raio r = OP co eixe OX, mediante os seis cocientes seguintes:


FORMULA




sen α = y/r (seno)
cos α = x/r (coseno)
tx α = y/x (tanxente)
cotx α = x/y (cotanxente)
sec α= r/x (secante)
cosec α = r/y (cosecante)
Cando o punto P está a unha distancia r=1 da orixe O, o valor absoluto destas razóns é representado pola lonxitude de certos segmentos, denominados liñas trigonométricas ( PC---, OC---, TA---, T’B---, OT---, OT’---, respectivamente). A partir de cada unha destas razóns, defínense as funcións trigonométricas ou circulares:
x -> sen x; x -> cos x; x -> tx x;
x -> cotx x; x -> sec x; x -> cosec x;
onde x é interpretada habitualmente como a medida dun ángulo en radiáns. As relacións inversas denomínanse funcións trigonométricas inversas, das que as máis importantes son:


FORMULA2


x -> sen^-1x ≡ arc sen x x Symbol >∈ [ - --- π 2 , --- π 2 ]
x -> cos^-1x ≡ arc cos x x Symbol >∈ [0, π]
x -> tx ^-1x ≡ arc tx x x Symbol >∈ (- ∞, + ∞)

Todas as razóns trigonométricas dun ángulo quedan determinadas, á parte do signo, polo coñecemento dunha delas, segundo resulta das relacións seguintes:
(sen α)²+ (cos a)²= 1; tx α = sen α -----;
cos α
As funcións trigonométricas cumpren tamén:

sen (α+ β) = sen α cos β + cos α sen βcos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β
tx (α + β) = tx α + tx βa -g
-----------
1 - tg α txβ
de onde resulta: sen 2 α = 2 sen α cos α
cos 2 α = (cos α)²- (sen α)²
tx 2 α = 2 tx α ------------
1 - (tx α)²
sen A + sen B = 2 sen A+B----2 cos A-B----2
cos A + cos B = 2 cos A+B----2 sen A-B----2
Os problemas clásicos da trigonometría son os da resolución de triángulos e para isto emprégase normalmente o teorema do seno:



FORMULA3




sen A = sen B = sen C
a b c

e o teorema do coseno:

a²= b²+ c²- 2 bc cos A
Unha modificación e xeneralización da trigonometría plana descrita é a trigonometría esférica que se dedica ao estudo das relacións entre as amplitudes dos ángulos e as amplitudes dos lados dos triángulos esféricos. Ten grande interese na astronomía, xeodesia e náutica. As fórmulas máis utilizadas na resolución dos triángulos esféricos son as coñecidas como grupo de Bessel e as analoxías de Neper e de Delambre. Historicamente, parece que a trigonometría comezou coa tentativa de Hiparco de utilizar, para caracterizar os ángulos, a lonxitude da corda correspondente no círculo de raio unidade. Por outra banda, Menelao, astrónomo de Alexandría, escribiu o tratado Esférica, onde estudou sistematicamente a trigonometría esférica, a finais do s I. Os árabes, reunindo os coñecementos helenísticos coa descuberta hindú do seno, elaboraron as primeiras táboas trigonométricas, mentres que descubrían as relacións elementais entre as razóns. En 1553 Regiomontanus publicou (postumamente) en Nuremberg De triangulis omnimodis libri quinque, onde aparece por primeira vez o teorema do seno. Máis tarde, Viète puxo a trigonometría ao servizo da técnica ao facilitar a construción de táboas trigonométricas detalladas (Burgui, Van Romen). O estudo das funcións trigonométricas recibiu un gran pulo grazas a Euler (1730) cando, utilizando os números complexos, conseguiu relacionar as funcións trigonométricas coas exponenciais e as logarítmicas.