Bessel, ecuación de
Nome dado á ecuación diferencial x2y”+xy’+(x2-v2)y=0, onde v é un número complexo calquera. Resulta de expresar a ecuación de Laplace, Ñ2φ(x,y,z)=0 en coordenadas cilíndricas cando é posible aplicar a función φ ao método de separación de variables: φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z). Unha solución particular da ecuación de Bessel é a función de Bessel de primeira clase , de orde v:
FORMULA
onde Γ é a función gamma. J-v (x) é tamén solución particular. Defínense as f uncións de Bessel de segunda clase ou funcións de Neumann, de orde v, da maneira seguinte: se v non é enteiro, entón:
FORMULA2
Para todo v, Yn é solución da ecuación de Bessel. Denomínanse funcións de Bessel de terceira clase ou funcións de Hankel de orde v, H1v(x) = Jv(x)+iYv(x), e H2vv(x)=Jv(x)-iYv(x), que dan unha solución xeral da ecuación de Bessel: y(x)=aH1v(x)+bH2v(x). A ecuación modificada de Bessel obtense facendo t = ix na ecuación de Bessel. As súas solucións son as funcións de Bessel modificadas de 1ª e 2ª clase. A ecuación esférica de Bessel é a ecuación x2y”+2xy’+[x2 - n(n+1)]y=0, onde n é un enteiro. As súas solución chámanse funcións esféricas de Bessel de 1ª e 2ª clase, de orde n.