álxebra

Parte das matemáticas que estudia as estruturas alxebraicas dos conxuntos. A álxebra moderna é o resultado de dúas inclinacións diferentes. Dunha parte, a álxebra clásica, simple instrumento para facer cálculo e resolver ecuacións. Doutra, o uso de notacións simbólicas (letras para designar incógnitas) e de conceptos operativos (o cero, os números negativos, os números imaxinarios), así como o manexo de demostracións formais. Aplícase, polo tanto, nas situacións onde existe un conxunto ben definido e unha noción clara de operación entre os seus elementos (operación interna) ou entre estes e os elementos doutros conxuntos (operación externa). O concepto fundamental da álxebra é o de estrutura alxebraica. Así, dado un conxunto C onde existe definida unha operación (+) entre os seus elementos (a, b, c, etc), é posible que se verifiquen as seguintes propiedades: 1) conmutativa: a+b = b+a; 2) asociativa: (a+b)+c = a+(b+c); 3) elemento neutro (0): a +0 = 0+ a, e 4) elemento simétrico: para cada elemento a existe outro elemento a’ que verifica que a + a’ = a’ + a = 0. Segundo cales destas propiedades se verifiquen, defínense as estruturas de semigrupo, grupo, e grupo abeliano (ou conmutativo) se se verifican todas. Se se define unha segunda operación en C, que se representa simbolicamente por x, poden verificarse tamén as propiedades: 5) conmutativa: ab = ba; 6) asociativa: a(bc) = (ab)c; 7) elemento neutro (1): a1 = 1a = a; 8) elemento simétrico: para cada a existe un a - tal que a - a = aa - = 1; e 9) distributiva: a(b+c) = ab +ac (ligando as dúas operacións). Estas propiedades dan lugar ás estruturas de anelo, anelo abeliano (ou conmutativo), corpo e corpo conmutativo se se verifican as nove propiedades. Outras estruturas son o ideal, o módulo, o espacio vectorial e a álxebra asociativa. Tamén se estudian os conceptos de estrutura derivada (subestruturas, estruturas, produto e cociente), de homomorfismo e, especialmente, o de isomorfismo. Aínda que o termo álxebra é de orixe medieval (do árabe al-ǧabr, probablemente difundido polo título da obra de al-Hwārizmī), tanto no sentido de cálculo como no da arte de resolver ecuacións, as técnicas alxebraicas son moi antigas. En Babilonia, aproximadamente no 2000 a C, e en Exipto, entre 1850 e 1650 a C propuxéronse e resolvéronse algunhas ecuacións. En Grecia, Euclides mostrou interese por establecer demostracións formais. Diofante de Alexandría a mediados do s II usou por primeira vez unha letra para representar a incógnita dunha ecuación. A álxebra hindú case estableceu o simbolismo operatorio. A musulmana semella xurdir das investigacións dos últimos gregos e da técnica dos hindús. Cómpre destacar a obra de al-Hwārizmī, de grande influencia na primitiva álxebra europea. O primeiro progreso foi a introdución nas traducións latinas medievais de palabras determinadas para designar as constantes (dragma ou numerus) e a incógnita (radix, causa ou res). Nos ss XV e XVI, en Europa marcouse o final da álxebra entendida coma unha simple técnica. Descartes en 1637 empregou unhas notacións equivalentes ás actuais. Nos ss XV e XVI a investigación matemática centrouse en problemas aritméticos e alxebraicos. A solución da ecuación de terceiro grao foi publicada no Ars Magna de Cardano (1545). O seu discípulo, Ferrari, atopou o xeito de resolver as ecuacións de cuarto grao. O punto culminante deste período chegou con François Viète, quen obtivo un método xeral para resolver as ecuacións ata cuarto grao. A partir deste momento, a álxebra foi puramente simbólica e de fácil aplicación. Os logros feitos no s XIX representan a liberación respecto dos moldes clásicos. Gauss estableceu unha teoría coherente dos números complexos (1831) e introduciu as congruencias. Hamilton obtivo o primeiro exemplo de álxebra non commutativa: os cuaternións (1843), e Cayley deu a primeira definición abstracta de grupo (1849). Esta tendencia xeneralizouse durante a segunda metade do s XIX. Jordan estudiou os grupos infinitos e Sylow os finitos. Steinitz (1910) sintetizou a teoría dos corpos. Van der Waerden publicou unha obra de conxunto, de base axiomática (1930). A álxebra lineal, desenvolvida por Hilber, Toepliz e Banach, entroncou coa xeometría: conceptúanse espacios de dimensión superior a 3. Grassmann, Möbius e Bellavitis elaboraron o cálculo vectorial. Sylvester introduciu as matrices e estudiou os sistemas de ecuacións lineais. Kronecker introduciu o produto tensorial e Rici e Levi-Civita crearon a álxebra tensorial. Disciplinas específicas da álxebra despregáronse durante o s XX: a álxebra homolóxica, nacida da topoloxía alxebraica e que deu lugar á teoría de categorías; a xeometría alxebraica e a álxebra non conmutativa.

Desenvolvida por George Boole no ano 1850, aplicación dos métodos da álxebra á teoría dos conxuntos e á lóxica como consecuencia de intentar obter os resultados destas como simples inferencias da súa estrutura alxebraica abstracta, unha álxebra de Boole, da que recibe o nome por extensión. Unha álxebra de Boole consta dun conxunto ben definido, dotado de dúas operacións internas e dunha aplicación de complementariedade (A,=,>,I), que verifica certas propiedades. No marco da lóxica de enunciados, o conxunto formado polas clases de enunciados loxicamente equivalentes dotados dos conectores = (‘e’), > (‘ou’) e I (‘non’) ten tamén esta estrutura e recibe o nome de álxebra de Lindenbaum-Tarski. Tense aplicado a álxebra de Boole en teoría de probabilidades e no deseño dos circuítos eléctricos en que se basean as unidades lóxicas dos ordenadores ( lóxica electrónica).

Nome dado ao cálculo de clases, a causa do uso de símbolos literais.

Estrutura composta (A, +, x, ·) onde (A, +, x) é una anel, (A, +, ·) é un módulo sobre un anel conmutativo con unidade K e verifícase que, se λ ∈ K e a, b ∈ A, λ(ab)= a(λb)= (λa)b. A álxebra é lineal se (A, +, ·) é un espazo vectorial.

Teoría alxebraica que se ocupa das operacións entre matrices.

Manipulación de símbolos matemáticos e non soamente dos seus valores númericos. Aplicado na informática, simplifican o proceso de deducir e manipular as fórmulas matemáticas.

Toda ecuación polinómica de grao n > 0 con coeficientes complexos que ten polo menos unha raíz complexa. Como consecuencia, todo polinomio de grao n > 0 con coeficientes complexos pode descomporse nun produto de n factores lineais.